Según se vio, la actividad A es proporcional al número de núcleos N presente en la muestra radiactiva en un instante dado, a través de la constante de decaimiento:
Como actividad implica transmutación nuclear, al ir decayendo la muestra con el tiempo, el número N va disminuyendo con una rapidez -dN/ dt. El signo negativo indica disminución de N al avanzar el tiempo t. Por lo tanto,
Si tomamos la segunda parte de esta ecuación, tenemos una ecuación diferencial que debe resolverse por separación de variables:
en donde K es la constante de integración y In indica el logaritmo natural. Ahora se toma la exponencial en ambos miembros, recordando que la función exponencial es la inversa del logaritmo natural, quedando
Para encontrar el valor de la constante de integración K, supóngase que al iniciar el proceso de decaimiento (t = 0) el valor de N es N0. Substituyendo estos valores en la ecuación, si t = 0, N = N0,
que es la ley de decaimiento radiactivo. Indica la forma analítica en que el número de núcleos va disminuyendo con el tiempo.
La actividad correspondiente se obtiene con:
Si se define A0 = lN0, la ecuación para A toma la misma forma exponencial que la de N, o sea, la actividad disminuye con el tiempo en la misma forma que el número de núcleos:
La vida media t de un isótopo es el tiempo que tarda en disminuir su actividad a la mitad. Si en la ecuación de decaimiento se substituyen los valores cuando t= t1/2, A =A0 2, se obtiene que
Eliminando A0 y tomando el inverso,
Ahora se toma el logaritmo natural en ambos miembros:
De aquí se obtiene la relación entre la constante de decaimiento y la vida media de un isótopo:
